はじめは簡単にするため、定義域の積分領域は長方形の有界閉区間\(D=[a,b]\times[c,d]\)とする。
関数\(f(x,y)\) は \(D\)上で定義された
有界で積分可能
な関数。
(下線部は「連続」でもよい ∵連続なら積分可能であるから)
図の場合はx-z平面のy に垂直な面で薄く切ってできた断面のイメージです。
リーマン積分と同様に
領域\(D\) を以下のように\(\Delta\)分割(細かく分割)します。
\(\Delta(x):\)
\( (a=)x_0<x_1<x_2<…x_{n-1}<x_n(=b)\)
\(\Delta(y):\)
\( (c=)y_0<y_1<y_2<…y_{n-1}<y_n(=d)\)
小分割
\(D_{ij}=[x_{i-1},x_{i}] \x [y_{j-1},y_{j}]\)
の中の任意点を\( \color{red}{(x'_{ij},y'_{ij})} \)とする。
その任意点に対応する関数を\(f\color{red}{ (x'_{ij},y'_{ij}) }\)とする。
これのリーマン和は次のようになる。
(参考)1変数のリーマン和は
\(S_n\)\(=\displaystyle \sum_{i=1}^n ΔS_i\)\(=\displaystyle \sum_{i=1}^n f(c_i)Δ_i\)
\(=\displaystyle \sum_{i=1}^n f(c_i) (x_i-x_{i-1})\)
でした。
\(V_n=\displaystyle \sum_{j=1}^m \left(\ \underline{ \displaystyle \sum_{i=1}^n f \color{red}{(x'_{ij},y'_{ij}) } (x_i-x_{i-1})}\ \right )\)\((y_j-y_{j-1})\)
\([a,b]の\Delta\)分割を小さくすれば下線部は
(yを固定しxについて積分する形)
\( \int_a^b f(x,y) dx\) \(⇒S(y)\)
\(V_n=\displaystyle \sum_{j=1}^m \left( \int_a^b f(x,y)dx \right) \) \((y_j-y_{j-1})\)
さらに\([c,d]の\Delta\)分割を小さくすると
\(V=\int_c^d \left( \int_a^b f(x,y)dx \right) dy\)\(=\iint_D f(x,y) dxdy\)
これが累次積分の式です。(()内を先に積分する)
次のような表記もあります。(変数が増えると分かり易い)
\(V=\int_a^b dx \int_c^d f(x,y) dy\)
ここまで累次積分の概念について説明しました。
2変数のどちらを先に固定するかにより以下の(ⅰ)と(ⅱ)の2通りあります。
ここでの説明は(ⅰ)の場合でした。
\(S(x)=\int_c^d f(x,y)dy\)
(dy で積分しているが この面積S(x)はx の関数)
そしてその\(S(x)\)を xについて [a,b] の範囲で積分すると 立体の体積が求まる。
\(V=\iint_D f(x,y) dxdy\) \(=\int_a^b \underbrace{\int_c^d f(x,y)dy }_{S(x)}\ dx \)… ❷